7543. Найдите угол между прямой, проходящей через точки A(-3;0;1)
и B(2;1;-1)
, и прямой, проходящей через точки C(-2;2;0)
и D(1;3;2)
.
Ответ. \arccos\frac{2\sqrt{105}}{35}
.
Указание. Найдите угол между векторами \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{CD}
.
Решение. Найдём координаты векторов \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{CD}
:
\overrightarrow{AB}=(2-(-3);1-0;-1-1)=(5;1;-2),
\overrightarrow{CD}=(1-(-2);3-2;2-0)=(3;1;2).
Пусть \varphi
— угол между векторами \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{CD}
. Тогда
\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CD}|}=\frac{5\cdot3+1\cdot1-2\cdot2}{\sqrt{5^{2}+1^{2}+2^{2}}\cdot\sqrt{3^{2}+1^{2}+2^{2}}}=\frac{12}{\sqrt{30\cdot14}}=\frac{6}{\sqrt{105}}=\frac{2\sqrt{105}}{35}.
Если \alpha
— угол между прямыми AB
и CD
, то
\cos\alpha=|\cos\varphi|=\frac{2\sqrt{105}}{35}.