7547. Найдите острый угол между плоскостями 2x-y-3z+5=0
и x+y-2=0
.
Ответ. \arccos\frac{1}{2\sqrt{7}}
.
Указание. Острый угол между плоскостями либо равен углу между векторами, соответственно перпендикулярными этим плоскостям, либо дополняет его до 180^{\circ}
.
Решение. Векторы \overrightarrow{n_{1}}=(2;-1;-3)
и \overrightarrow{n_{2}}=(1;1;0)
соответственно перпендикулярны данным плоскостям. Если \alpha
— острый угол между плоскостями, а \varphi
— угол между векторами \overrightarrow{n_{1}}
и \overrightarrow{n_{2}}
, то
\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}}{|\overrightarrow{n_{1}}|\cdot|\overrightarrow{n_{2}}|}=\frac{2\cdot1-1\cdot1-3\cdot0}{\sqrt{2^{2}+1^{2}+3^{2}}\cdot\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{7}},
\cos\alpha=|\cos\varphi|=\frac{1}{2\sqrt{7}}.