7551. Через точку
M(-2;0;3)
проведите прямую, пересекающую прямые
\syst{x=2-t\\y=3\\z=-2+t\\}~~\mbox{и}~~\syst{2x-2y-z-4=0\\x+3y+2z+1=0.\\}

Ответ.
x=-2+13t
,
y=-3t
,
z=3-12t
.
Указание. Искомая прямая есть пересечение плоскостей, проведённых через данную точку и каждую из данных прямых.
Решение. Через точку
M(-2;0;3)
и первую прямую проведём плоскость
\alpha
. Для этого возьмём на этой прямой какую-нибудь точку, например,
A(2;3;-2)
, найдём вектор
\overrightarrow{n_{1}}=(a;b;c)
, перпендикулярный направляющему вектору
\overrightarrow{m_{1}}=(-1;0;1)
и вектору
\overrightarrow{MA}=(4;3;-5)
, и решим систему уравнений
\syst{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{m_{1}}=0\\\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{MA}=0,\\}

или
\syst{-a+c=0\\4a+3b-5c=0.\\}

Положим
a=c=3
. Тогда
b=\frac{1}{3}(-4a+5c)=1
. Значит, уравнение искомой плоскости имеет вид
3(x+2)+y+3(z-3)=0,~\mbox{или}~3x+y+3z-3=0.

Найдём параметрические уравнения второй из данных прямых. Для этого положим
x=t
и решим относительно
y
и
z
систему уравнений
\syst{2y+z=2t-4\\3y+2z=-t-1.\\}

Умножив обе части первого уравнения на
-2
и сложив почленно результат со вторым уравнением, получим, что
y=5t-7
. Значит,
z=2t-4-2y=2t-4-10t+14=-8t+10.

Поэтому в качестве направляющего вектора второй прямой можно взять вектор
\overrightarrow{m_{2}}=(1;5;-8)
.
Через точку
M(-2;0;3)
и вторую прямую проведём плоскость
\beta
. Для этого возьмём на второй прямой какую-нибудь точку, например,
B(0;-7;10)
, найдём вектор
\overrightarrow{n_{2}}=(p;q;r)
, перпендикулярный направляющему вектору
\overrightarrow{m_{2}}=(1;5;-8)
и вектору
\overrightarrow{MB}=(2;-7;7)
, и решим систему уравнений
\syst{\overrightarrow{n_{2}}\cdot\overrightarrow{m_{2}}=0\\\overrightarrow{n_{3}}\cdot\overrightarrow{MB}=0,\\}

или
\syst{p+5q-8r=0\\2p-7q+7r=0.\\}

Умножим обе части первого уравнения на
-2
и результат почленно сложим со вторым. Получим
-17q+23r=0
. Положим
q=23
. Тогда
r=17
,
p=8r-5q=21
. Значит, уравнение плоскости
\beta
имеет вид
21(x+2)+23y+17(z-3)=0,~\mbox{или}~21x+23y+17z-9=0.

Искомая прямая есть пересечение плоскостей
\alpha
и
\beta
:
\syst{3x+y+3z-3=0\\21x+23y+17z-9=0.\\}

Найдём её параметрические уравнения. Для этого положим
y=-3t
и решим относительно
x
и
z
систему уравнений
\syst{3x+3z=3t+3\\21x+17z=69t+9.\\}

Получим, что
x=13t-2
,
z=3-12t
.