7552. Непересекающиеся диагонали двух смежных граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами \alpha
и \beta
. Найдите угол между этими диагоналями.
Ответ. \arccos(\sin\alpha\sin\beta)
.
Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Пусть AD_{1}
и DC_{1}
— указанные диагонали. Тогда \angle AD_{1}A_{1}=\alpha
, \angle DCD_{1}=\beta
.
Выберем систему координат с началом в точке A
. Ось x
направим по лучу AB
, ось y
— по лучу AD
, ось z
— по лучу AA_{1}
. Пусть AB=1
. Тогда
AA_{1}=DD_{1}=D_{1}C_{1}\tg\beta=\tg\beta,~AD=A_{1}D_{1}=AA_{1}\ctg\alpha=\tg\beta\ctg\alpha.
Тогда координаты концов отрезков AD_{1}
и DC_{1}
таковы:
A(0;0;0),~D_{1}(0;\tg\beta\ctg\alpha;\tg\beta),
D(0;\tg\beta\ctg\alpha;0),~C_{1}(1;\tg\beta\ctg\alpha;\tg\beta).
Пусть \varphi
— угол между векторами \overrightarrow{AD_{1}}=(0;\tg\beta\ctg\alpha;\tg\beta)
и \overrightarrow{DC_{1}}=(1;0;\tg\beta)
. Тогда
\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{AD_{1}}\cdot\overrightarrow{DC_{1}}}{|\overrightarrow{AD_{1}}|\cdot|\overrightarrow{DC_{1}}|}=\frac{0\cdot1+\tg\beta\ctg\alpha\cdot0+\tg\beta\cdot\tg\beta}{\sqrt{\tg^{2}\beta\ctg^{2}\alpha+\tg^{2}\beta}\cdot\sqrt{1^{2}+\tg^{2}\beta}}=
=\frac{\tg^{2}\beta}{\tg\beta\sqrt{\ctg^{2}\alpha+1}\cdot\frac{1}{\cos\beta}}=\frac{\tg\beta\cos\beta}{\frac{1}{\sin\alpha}}=\sin\alpha\sin\beta.
Если \gamma
— угол между указанными прямыми, то
\cos\gamma=|\cos\varphi|=\sin\alpha\sin\beta.