7559. На рёбрах A_{1}B_{1}
, AB
, A_{1}D_{1}
и DD_{1}
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
взяты точки K
, L
, M
и N
соответственно, причём A_{1}K=\frac{2}{3}
, AL=\frac{1}{5}
, A_{1}M=\frac{1}{3}
. Определите, какое из рёбер A_{1}D_{1}
или D_{1}C_{1}
пересекает плоскость, параллельную отрезку ML
и содержащую отрезок KN
. В каком отношении это ребро делится плоскостью?
Ответ. D_{1}C_{1}
; в любом отношении от 0 до \frac{1}{59}
, считая от вершины D_{1}
.
Решение. Выберем систему координат с началом в точке A_{1}
. Ось x
направим по лучу A_{1}D_{1}
, ось y
— по лучу A_{1}B_{1}
, ось z
— по лучу A_{1}A
. Тогда координаты точек K
, L
, M
и N
таковы:
K\left(0;\frac{2}{3};0\right),~L\left(0;\frac{1}{5};1\right),~M\left(\frac{1}{3};0;0\right),~N(1;0;t),
где 0\leqslant t\leqslant1
. Отложим от точки L
вектор
\overrightarrow{LP}=\overrightarrow{MK}=\left(0-\frac{1}{3};\frac{2}{3}-0;0-0\right)=\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3};0\right).
Тогда точка P
имеет координаты \left(-\frac{1}{3};\frac{13}{15};1\right)
. Искомая плоскость проходит через точки K
, P
и N
. Ищем уравнение этой плоскости в виде ax+by+cz=1
. Подставляя в это уравнение координаты точек K
, P
и N
, находим, что
c=\frac{1}{10(t+3)},~a=\frac{9t+30}{10(t+3)},~b=\frac{3}{2}.
После очевидных упрощений получим уравнение (9t+30)x+15(t+3)y+z=10(t+3)
.
Подставив нули вместо y
и z
найдём точку пересечения плоскости с прямой A_{1}D_{1}
— x=\frac{10(t+3)}{3(3t+10)}
, а так как 0\leqslant t\leqslant1
, то 1\leqslant x\leqslant\frac{40}{39}
. Значит, секущая плоскость не пересекает ребро A_{1}D_{1}
.
Подставив в полученное уравнение x=1
и z=0
найдём точку пересечения плоскости с прямой D_{1}C_{1}
— y=\frac{t}{15(t+3)}
, а так как 0\leqslant t\leqslant1
, то 0\leqslant y\leqslant\frac{1}{60}
. Значит, секущая плоскость пересекает ребро D_{1}C_{1}
и при этом точка пересечения делит это ребро в любом отношении от 0 до \frac{1}{59}
, считая от вершины D_{1}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1996 (предварительный экзамен, май), вариант 2, № 5