7563. Формула расстояния от точки до плоскости. Найдите расстояние от точки M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})
до плоскости Ax+By+Cz+D=0
.
Ответ. \rho=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}
.
Решение. Через данную точку M_{0}
проведём прямую, перпендикулярную данной плоскости. В качестве направляющего вектора этой прямой возьмём вектор \overrightarrow{m}=(A;B;C)
. Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид
\syst{x-x_{0}=At\\y-y_{0}=Bt\\z-z_{0}=Ct\\}
(см. задачу 7062).
Подставив x
, y
и z
, выраженные из этой системы через t
, в уравнение плоскости, найдём значение t
, для которого точка M
принадлежит данной плоскости:
A(x_{0}+At)+B(y_{0}+Bt)+C(z_{0}+Ct)+D=0~\Leftrightarrow~(A^{2}+B^{2}+C^{2})t=-(Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~t=-\frac{Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D}{A^{2}+B^{2}+C^{2}}.
Расстояние \rho
от точки M_{0}
до данной плоскости равно расстоянию между точками M_{0}
и найденной точкой пересечения проведённой прямой с данной плоскостью, т. е.
\rho=M_{0}M=\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}=
=\sqrt{A^{2}t^{2}+B^{2}t^{2}+C^{2}t^{2}}=|t|\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}=
=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{A^{2}+B^{2}+C^{2}}\cdot\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 1.27, с. 21
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 1.36, с. 12