7564. Уравнение плоскости в отрезках. Плоскость задана уравнением Ax+By+Cz+D=0
, причём числа A
, B
, C
и D
отличны от нуля. Докажите, что тогда уравнение плоскости можно записать в виде \frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1
, где P(p;0;0)
, Q(0;q;0)
и R(0;0;r)
— точки пересечения плоскости с координатными осями.
Решение. Поскольку A\ne0
, B\ne0
, C\ne0
и D\ne0
,
Ax+By+Cz+D=0~\Leftrightarrow~Ax+By+Cz=-D~\Leftrightarrow~-\frac{A}{D}x-\frac{B}{D}y-\frac{C}{D}z=1~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{x}{-\frac{D}{A}}+\frac{y}{-\frac{D}{B}}+\frac{z}{-\frac{D}{C}}=1~\Leftrightarrow~\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1,
где
p=-\frac{D}{A},~q=-\frac{D}{B},~r=-\frac{D}{C}.
Подставив в полученное уравнение y=0
и z=0
, найдём абсциссу точки пересечения плоскости с осью Ox
: x=p
. Аналогично для точек пересечения с осями Oy
и Oz
.
Примечание. Если плоскость параллельна оси Ox
, то её уравнение можно записать в виде \frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1
.