7565. Две плоскости заданы уравнениями A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0
и A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0
. Пусть \alpha
— величина нетупого угла, образованного плоскостями. Докажите, что
\cos\alpha=\frac{|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\cdot\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}.
Решение. Нетупой угол \varphi
между плоскостями либо равен углу между векторами \overrightarrow{n_{1}}=(A_{1};B_{1};C_{1})
и \overrightarrow{n_{2}}=(A_{2};B_{2};C_{2})
, соответственно перпендикулярными данным плоскостям, либо дополняет его до 90^{\circ}
. Следовательно,
\cos\varphi=|\cos\alpha|=\left|\frac{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}}{|\overrightarrow{n_{1}}|\cdot|\overrightarrow{n_{2}}|}\right|=\frac{|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\cdot\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}.