7567. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара относится к площади поверхности конуса как 4:9
. Найдите угол наклона образующей конуса к плоскости его основания.
Ответ. 60^{\circ}
или \arccos\frac{1}{5}
.
Решение. Пусть радиус основания конуса равен R
, образующая равна l
, а радиус шара, вписанного в конус, равен r
. Тогда площадь поверхности конуса равна \pi Rl+\pi R^{2}=\pi R(l+R)
, а площадь поверхности шара равна 4\pi r^{2}
. По условию задачи
\frac{4\pi r^{2}}{\pi R(l+R)}=\frac{4r^{2}}{R(R+l)}=\frac{4}{9},
откуда r^{2}=\frac{R(R+l)}{9}
.
Пусть O
— центр шара, S
— вершина конуса, H
— центр основания конуса, ASB
— осевое сечение конуса, M
— точка касания со стороной SA
окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ASB
.
Тогда
SM=SA-AM=SA-HA=l-R,~OM=r.
Прямоугольные треугольники SMO
и SHA
подобны, поэтому \frac{OM}{HA}=\frac{SM}{SH}
, или
\frac{r}{R}=\frac{l-R}{\sqrt{l^{2}-R^{2}}},~\frac{r}{R}=\frac{l-R}{\sqrt{l-R}\sqrt{l+R}},~\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{l-R}}{\sqrt{l+R}},
R^{2}(l-R)=r^{2}(l+R),~R^{2}(l-R)=\frac{R(R+l)^{2}}{9},~
9R(l-R)=(R+l)^{2},~9Rl-9R^{2}=R^{2}+2Rl+l^{2},
10R^{2}-7Rl+l^{2}=0.
Отсюда находим, что R=\frac{1}{2}l
или R=\frac{1}{5}l
.
Пусть угол образующей конуса с его основанием равен \alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{HA}{SA}=\frac{R}{l}=\frac{1}{2}
или
\cos\alpha=\frac{HA}{SA}=\frac{R}{l}=\frac{1}{5}.
Следовательно, \alpha=60^{\circ}
или \arccos\frac{1}{5}
.