7574. Даны точки A(1;0;1)
, B(-2;2;1)
, C(2;0;3)
и D(0;4;-2)
. Найдите острый угол между плоскостями ABC
и BCD
.
Ответ. \arccos\frac{20}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{101}}
.
Указание. Острый угол между плоскостями либо равен углу между векторами, соответственно перпендикулярными данным плоскостям, либо дополняет этот угол до 180^{\circ}
.
Решение. Острый угол между плоскостями либо равен углу между векторами, соответственно перпендикулярными данным плоскостям, либо дополняет этот угол до 180^{\circ}
.
Пусть \overrightarrow{n}=(a;b;c)
— ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости ABC
. Найдём координаты векторов \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{AC}
:
\overrightarrow{AB}=(-2-1;2-0;1-1)=(-3;2;0),
\overrightarrow{AC}=(2-1;0-0;3-1)=(1;0;2).
Поскольку \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0
и \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0
, имеем систему
\syst{-3a+2b=0\\a+2c=0.\\}
Положим c=-1
. Тогда a=2
, b=\frac{3}{2}a=3
. Таким образом, вектор \overrightarrow{n}=(2;3;-1)
перпендикулярен плоскости ABC
.
Пусть \overrightarrow{m}=(p;q;r)
— ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости BCD
. Найдём координаты векторов \overrightarrow{BC}
и \overrightarrow{BD}
:
\overrightarrow{BC}=(2-(-2);0-2;3-1)=(4;-2;2),
\overrightarrow{BD}=(0-(-2);4-2;-2-1)=(2;2;-3).
Поскольку \overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{BC}=0
и \overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{BD}=0
, имеем систему
\syst{4p-2q+2r=0\\2p+2q-3r=0.\\}
Сложив почленно эти уравнения, получим, что 6p-r=0
. Положим r=6
. Тогда p=1
, q=\frac{1}{2}(4p+2r)=2p+r=8
. Таким образом, вектор \overrightarrow{m}=(1;8;6)
перпендикулярен плоскости BCD
.
Пусть \varphi
— угол между векторами \overrightarrow{n}
и \overrightarrow{m}
. Тогда
\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|\cdot|\overrightarrow{m}|}=\frac{2\cdot1+3\cdot8-1\cdot6}{\sqrt{(2^{2}+3^{2}+1^{2})(1^{2}+8^{2}+6^{2})}}=\frac{20}{\sqrt{14\cdot101}}.
Если \alpha
— острый угол между плоскостями ABC
и BCD
, то
\cos\alpha=|\cos\varphi|=\frac{20}{\sqrt{14\cdot101}}.