7575. Даны точки A(1;0;1)
, B(-2;2;1)
, C(2;0;3)
и D(0;4;-2)
. Найдите угол между прямой AB
и плоскостью BCD
.
Ответ. \arcsin\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{101}}
.
Решение. Пусть \overrightarrow{n}=(a;b;c)
— ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости BCD
. Найдём координаты векторов \overrightarrow{BC}
, \overrightarrow{BD}
и \overrightarrow{AB}
:
\overrightarrow{BC}=(2-(-2);0-2;3-1)=(4;-2;2),
\overrightarrow{BD}=(0-(-2);4-2;-2-1)=(2;2;-3),
\overrightarrow{AB}=(-2-1;2-0;1-1)=(-3;2;0).
Поскольку \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{BC}=0
и \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{BD}=0
, имеем систему
\syst{4a-2b+2c=0\\2a+2b-3c=0.\\}
Сложив почленно эти уравнения, получим, что 6a-c=0
. Положим c=6
. Тогда a=1
, b=\frac{1}{2}(4a+2c)=2a+c=8
. Таким образом, вектор \overrightarrow{n}=(1;8;6)
перпендикулярен плоскости BCD
.
Пусть \alpha
— угол между прямой AB
и плоскостью BCD
, \varphi
— угол между векторами \overrightarrow{n}=(1;8;6)
и \overrightarrow{AB}=(-3;2;0)
. Тогда
\sin\alpha=|\cos\varphi|=\left|\frac{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{n}|\cdot|\overrightarrow{AB}|}\right|=\frac{|1\cdot(-3)+8\cdot2+6\cdot0|}{\sqrt{(1^{2}+8^{2}+6^{2})(3^{2}+2^{2}+0^{2})}}=\frac{13}{\sqrt{101\cdot13}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{101}}.