7576. Даны точки A(1;0;1)
, B(-2;2;1)
, C(2;0;3)
и D(0;4;-2)
. Найдите расстояние между прямыми AB
и CD
.
Ответ. \frac{26}{\sqrt{389}}
.
Указание. Через прямую AB
проведите плоскость, параллельную прямой CD
. Затем найдите расстояние от произвольной точки прямой CD
до проведённой плоскости.
Решение. Найдём координаты векторов \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{CD}
:
\overrightarrow{AB}=(-2-1;2-0;1-1)=(-3;2;0).
\overrightarrow{CD}=(0-2;4-0;-2-3)=(-2;4;-5).
Пусть \overrightarrow{n}=(a;b;c)
— ненулевой вектор, перпендикулярный данным прямым. Тогда \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0
и \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{CD}=0
, или
\syst{-3a+2b=0\2a+4b-5c=0.\\}
Положим a=10
. Тогда b=15
, c=\frac{1}{5}(-2a+4b)=8
. Через точку A(1;0;1)
проведём плоскость, перпендикулярную вектору \overrightarrow{n}=(10;15;8)
:
10(x-1)+15y+8(z-1)=0,~\mbox{или}~10x+15y+8z-18=0.
Расстояние от точки C(2;0;3)
до этой плоскости равно расстоянию между прямыми AB
и CD
. Если \rho
— искомое расстояние, то
\rho=\frac{|10\cdot2+15\cdot0+8\cdot3-18|}{\sqrt{10^{2}+15^{2}+8^{2}}}=\frac{26}{\sqrt{389}}.