7577. Даны точки A(1;0;1)
, B(-2;2;1)
, C(2;0;3)
и D(0;4;-2)
. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и пересекающей прямые AB
и CD
.
Ответ. x=8t
, y=2t
, z=11t
.
Указание. Искомая прямая есть пересечение плоскостей, проведённых через данную точку и каждую из данных прямых.
Решение. Через точку O(0;0;0)
и прямую AB
проведём плоскость \alpha
. Пусть \overrightarrow{n_{1}}=(a;b;c)
— ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости \alpha
. Тогда \overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{OA}=0
и \overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{OB}=0
, или
\syst{a+c=0\2a+2b+c=0.\\}
Положим a=2
. Тогда c=-2
, b=\frac{1}{2}(2a-c)=3
. Значит, уравнение плоскости \alpha
имеет вид 2x+3y-2z=0
.
Через точку O(0;0;0)
и прямую CD
проведём плоскость \beta
. Пусть \overrightarrow{n_{2}}=(p;q;r)
— ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости \beta
. Тогда \overrightarrow{n_{2}}\cdot\overrightarrow{OC}=0
и \overrightarrow{n_{2}}\cdot\overrightarrow{OD}=0
, или
\syst{2p+3r=0\\4q-2r=0.\\}
Положим p=3
. Тогда r=-2
, q=\frac{1}{2}r=-1
. Значит, уравнение плоскости \beta
имеет вид 3x-y-2z=0
.
Искомая прямая есть пересечение плоскостей
2x+3y-2z=0~\mbox{и}~3x-y-2z=0.
Найдём её параметрические уравнения. Для этого положим x=8t
и решим относительно y
и z
систему уравнений
\syst{3y-2z=-16t\\y+2z=24t.\\}
Получим, что y=2t
, z=11t
. Таким образом, параметрические уравнения искомой прямой l
имеют вид
x=8t,~y=2t,~z=11t.
Прямая l
лежит в одной плоскости с прямой AB
и не параллельна прямой AB
, так как направляющий вектор прямой l
(его координаты — (-8;2;11)
) неколлинеарен вектору \overrightarrow{AB}=(-3;2;0)
. Значит, прямые l
и AB
пересекаются. Аналогично проверим, что прямые l
и CD
также пересекаются.