7599. Дан параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. В треугольнике ABC
выбрана точка P
, а в параллелограмме ACC_{1}A_{1}
— точка K
так, что прямая PK
параллельна плоскости ACD_{1}
. Докажите, что отрезок PK
делится плоскостью ACB_{1}
пополам.
Решение. Первый способ. Пусть точка P
совпадает с вершиной B
. Поскольку прямая BK
параллельна плоскости ACD_{1}
, а плоскости ACD_{1}
и A_{1}BC_{1}
параллельны, то прямая BK
лежит в плоскости A_{1}BC_{1}
. Значит, точка K
лежит на отрезке A_{1}C_{1}
.
Плоскости A_{1}BC_{1}
и AB_{1}C
пересекаются по общей средней линии ST
треугольников A_{1}BC_{1}
и AB_{1}C
, где S
и T
— центры параллелограммов AA_{1}B_{1}B
и BB_{1}C_{1}C
, значит, отрезок BK
пересекает плоскость AB_{1}C
в точке, лежащей на средней линии ST
треугольника A_{1}BC_{1}
. Следовательно, точка пересечения делит отрезок BK
пополам.
Пусть теперь точка P
отлична от B
, а M
— точка пересечения BP
и AC
. Рассмотрим гомотетию с центром M
, при которой точка B
переходит в P
. Параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
переходит при этом в гомотетичный ему параллелепипед, у которого точка P
— вершина, а все рассмотренные выше плоскости параллельны соответствующим плоскостям данного параллелепипеда, а соответствующие треугольники гомотетичны с одним и тем же центром и коэффициентом. Для нового параллелепипеда и его вершины P
утверждение верно, значит, оно верно и для точки P
исходного параллелепипеда.
Второй способ. Заметим, что если точки M
и N
лежат по одну сторону от плоскости XYZ
, то равенство объёмов V_{MXYZ}=V_{NXYZ}
равносильно тому, что прямая MN
параллельна плоскости XYZ
, а если точки M
и N
лежат по разные стороны от плоскости XYZ
, то равенство V_{MXYZ}=V_{NXYZ}
равносильно тому, что отрезок MN
делится плоскостью XYZ
пополам.
В нашей задаче
BB_{1}\parallel KAC~\Rightarrow~V_{KACB_{1}}=V_{KACB},
\triangle ACD=\triangle ABC~\Rightarrow~V_{KABC}=V_{KACD},
KP\parallel ACD_{1}~\Rightarrow~V_{KACD}=V_{KACD_{1}},
B_{1}D_{1}\parallel PAC~\Rightarrow~V_{PACD_{1}}=V_{PACB_{1}}.
Из этих равенств следует, что V_{KACB_{1}}=V_{PACB_{1}}
, значит, плоскость ACB_{1}
делит отрезок PK
пополам.
Автор: Максимов Д.
Автор: Петров Ф. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2010, первый тур, 11 класс