7600. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, в котором AB=4
, AD=2
, AA_{1}=6
. Точка N
— середина ребра CD
, точка M
расположена на ребре CC_{1}
, причём C_{1}M:CM=1:2
, K
— точка пересечения диагоналей грани AA_{1}D_{1}D
. Найдите угол между прямыми KM
и A_{1}N
.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{22}}{33}
.
Решение. Обозначим AD=x
, AB=y
, AA_{1}=z
, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{x}
, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{y}
, \overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{z}
, x=2,y=4
, z=6
. Тогда
\overrightarrow{KM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\frac{1}{6}\overrightarrow{z},~\overrightarrow{A_{1}N}=\overrightarrow{x}+\frac{1}{2}\overrightarrow{y}-\overrightarrow{z}.
Если \alpha
— угол между векторами \overrightarrow{KM}
и \overrightarrow{A_{1}N}
, то
\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{KM}\cdot\overrightarrow{A_{1}N}}{|\overrightarrow{KM}|\cdot|\overrightarrow{A_{1}N}|}=\frac{\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\frac{1}{6}\overrightarrow{z}\right)\cdot\left(\overrightarrow{x}+\frac{1}{2}\overrightarrow{y}-\overrightarrow{z}\right)}{\sqrt{\frac{x^{2}}{4}+y^{2}+\frac{z^{2}}{36}}\cdot\sqrt{x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}}}=
=\frac{\frac{1}{2}\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{x}+\frac{1}{2}\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{y}-\frac{1}{6}\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{z}}{\sqrt{\left(\frac{x^{2}}{4}+y^{2}+\frac{z^{2}}{36}\right)\left(x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}\right)}}=
=\frac{2+8-6}{\sqrt{(1+16+1)(4+4+36)}}=\frac{4}{\sqrt{18\cdot44}}=\frac{\sqrt{22}}{33}.
Пусть \varphi
— угол между прямыми KM
и A_{1}N
. Тогда
\cos\varphi=|\cos\alpha|=\frac{\sqrt{22}}{33}.
Следовательно, \alpha=\arccos\frac{\sqrt{22}}{33}
.