7603. Дан тетраэдр ABCD
, в котором AB=BD=3
, AC=CD=5
, AD=BC=4
. Найдите AM
, где M
— точка пересечения медиан грани BCD
.
Ответ. \frac{10}{3}
.
Указание. Если M
— точка пересечения медиан треугольника BCD
, то \overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})
.
Решение. Поскольку M
— точка пересечения медиан треугольника BCD
,
\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}),
поэтому
\overrightarrow{AM}^{2}=\frac{1}{9}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})^{2}=
=\frac{1}{9}(AB^{2}+AC^{2}+AD^{2}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}).
Из равенства \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}
следует, что
BD^{2}=AD^{2}-2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}+AB^{2},
откуда находим, что
2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=AD^{2}+AB^{2}-BD^{2}=16+9-9=16.
Аналогично,
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB},~BC^{2}=AC^{2}-2\cdot\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}+AB^{2},
\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD},~AC^{2}=DC^{2}-2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}+AD^{2},
откуда
2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}=25+9-16=18,
2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=AC^{2}+AD^{2}-DC^{2}=25+16-25=16.
Следовательно,
\overrightarrow{AM}^{2}=\frac{1}{9}(AB^{2}+AC^{2}+AD^{2}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD})=
=\frac{1}{9}(9+16+25+16+18+16)=\frac{1}{9}\cdot100~\Rightarrow~AM=\frac{10}{3}.