7606. Известно, что \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
— некомпланарные векторы. Докажите, что векторы \overrightarrow{m}=-3\overrightarrow{a}+4.5\overrightarrow{b}-7\overrightarrow{c}
, \overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}
и \overrightarrow{p}=-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}
— компланарны.
Указание. Докажите, что \overrightarrow{p}=2\overrightarrow{m}+4\overrightarrow{n}
.
Решение. Умножим вектор \overrightarrow{m}
на 2, вектор \overrightarrow{n}
— на 4 и результаты сложим. Получим, что
2\overrightarrow{m}+4\overrightarrow{n}=(-6\overrightarrow{a}+9\overrightarrow{b}-14\overrightarrow{c})+(4\overrightarrow{a}-8\overrightarrow{b}+12\overrightarrow{c})=
=-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}=\overrightarrow{p}.
Следовательно, векторы \overrightarrow{m}
, \overrightarrow{n}
и \overrightarrow{p}
компланарны.