7607. Известно, что \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
— некомпланарные векторы. Докажите, что векторы \overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}
, \overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}
и \overrightarrow{p}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}
— также некомпланарны.
Указание. Докажите, что равенство x\overrightarrow{m}+y\overrightarrow{n}+z\overrightarrow{p}=\overrightarrow{0}
возможно лишь в случае, когда x=y=z=0
.
Решение. Пусть x
, y
и z
— такие числа, для которых x\overrightarrow{m}+y\overrightarrow{n}+z\overrightarrow{p}=\overrightarrow{0}
. Тогда
x(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})+y(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})+z(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c})=
=(x+y+2z)\overrightarrow{a}+(x+y+z)\overrightarrow{b}+(x-y+3z)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}.
Поскольку \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
— некомпланарные векторы, последнее равенство возможно лишь в случае, когда
\syst{x+y+2z=0\\x+y+z=0\\x-y+3z=0.\\}
откуда x=y=z=0
. Следовательно, векторы \overrightarrow{m}
, \overrightarrow{n}
и \overrightarrow{p}
некомпланарны.