7609. Боковые рёбра DA
, DB
и DC
тетраэдра ABCD
попарно перпендикулярны и равны a
, b
и c
. Высота, проведённая из вершины D
равна h
. Докажите, что
\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}.
Указание. Если площади боковых граней такого тетраэдра равны S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
, а площадь основания равна S
, то S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}=S^{2}
(см. задачу 7239(б)).
Решение. Пусть DA=a
, DB=b
, DC=c
— боковые рёбра данного тетраэдра ABCD
, S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
— площади боковых граней соответственно ADB
, ADC
и BDC
, S
— площадь основания ABC
, V
— объём тетраэдра. Тогда V=\frac{1}{3}S\cdot DH
и V=\frac{1}{3}S_{1}\cdot DC
, значит, S\cdot DH=S_{1}\cdot DC
, или Sh=S_{1}c
. Поэтому \frac{1}{c}=\frac{S_{1}}{Sh}
. Аналогично \frac{1}{b}=\frac{S_{2}}{Sh}
и \frac{1}{a}=\frac{S_{3}}{Sh}
. Тогда
\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{S_{3}^{2}}{S^{2}h^{2}}+\frac{S_{2}^{2}}{S^{2}h^{2}}+\frac{S_{1}^{2}}{S^{2}h^{2}}=\frac{S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}{S^{2}h^{2}}=\frac{S^{2}}{S^{2}h^{2}}=\frac{1}{h^{2}}
(см. задачу 7239(б)).