7619. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равны a
. Рассматриваются отрезки с концами на диагоналях BC_{1}
и CA_{1}
боковых граней, параллельные плоскости ABB_{1}A_{1}
.
1) Один из этих отрезков проведён через точку M
диагонали BC_{1}
, для которой BM:BC_{1}=1:3
. Найдите его длину.
2) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.
Ответ. 1) \frac{a\sqrt{5}}{3}
; 2) \frac{a}{\sqrt{5}}
.
Решение. 1) Через точку M
проведём сечение призмы плоскостью, параллельной грани AA_{1}B_{1}B
. Получим прямоугольник KPLQ
, где точки K
, P
, L
и Q
лежат на рёбрах BC
, B_{1}C_{1}
, A_{1}C_{1}
и AC
соответственно. Пусть N
— точка пересечения секущей плоскости с отрезком CA_{1}
, F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на LQ
. Отрезок MN
— искомый.
Используя подобие треугольников, найдём, что
MK=\frac{1}{3}CC_{1}=\frac{1}{3}a,~KQ=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}a,~NQ=\frac{2}{3}AA_{1}=\frac{2}{3}a.
Тогда
NF=|NQ-FQ|=|NQ-MK|=\frac{2}{3}a-\frac{1}{3}a=\frac{1}{3}a.
Следовательно,
MN=\sqrt{MF^{2}+NF^{2}}=\sqrt{KQ^{2}+NF^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}a^{2}+\frac{1}{9}a^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{3}.
2) Обозначим \frac{BM}{BC_{1}}=x
(0\lt x\lt1
). Тогда, рассуждая аналогично первой части, получим, что
MK=xCC_{1}=ax,~KQ=(1-x)AB=(1-x)a,~NQ=(1-x)AA_{1}=(1-x)a.
NF=|NQ-FQ|=|NQ-MK|=|(1-x)a-ax|=|(1-2x)a|
Следовательно,
MN^{2}=MF^{2}+NF^{2}=KQ^{2}+NF^{2}=a^{2}((1-x)^{2}+(1-2x)^{2})=a^{2}(5x^{2}-6x+2)
Наименьшее значение квадратного трёхчлена 5x^{2}-6x+2
достигается при x=\frac{3}{5}
, поэтому
MN^{2}\leqslant a^{2}\left(5\cdot\frac{9}{25}-6\cdot\frac{3}{5}+2\right)=\frac{1}{5}a^{2}.
Следовательно, наименьшая длина рассматриваемых отрезков равна \frac{a}{\sqrt{5}}
и достигается в случае \frac{BM}{BC_{1}}=\frac{3}{5}
.