7658. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны, найдите угол между плоскостями ABC
и BFE_{1}
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Заметим, что в правильном шестиугольнике ABCDEF
сторона BC
перпендикулярна диагонали BF
. По теореме о трёх перпендикулярах наклонная C_{1}B
к плоскости ABCDEF
перпендикулярна прямой BF
, лежащей в этой плоскости, так как её ортогональная проекция BC
перпендикулярна BF
. Значит, линейный угол, образованный плоскостями ABCDEF
и BFE_{1}C_{1}
— это угол CBC_{1}
.
Поскольку BCC_{1}B_{1}
— квадрат, \angle CBC_{1}=45^{\circ}
.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 9, с. 57