7659. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны, найдите синус угла между прямой FC_{1}
и плоскостью BCE_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{15}}{5}
.
Решение. Пусть все рёбра данной призмы равны a
, H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки F
на прямую BF_{1}
. Диагональ BF
правильного шестиугольника ABCDEF
перпендикулярна стороне BC
, а так как FF_{1}
— перпендикуляр к плоскости основания ABCDEF
, то BC\perp FF_{1}
. Значит, прямая BC
перпендикулярна плоскости BFF_{1}
, содержащей прямую FH
. Таким образом, прямая FH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC
и BF_{1}
плоскости BCE_{1}F_{1}
, значит, FH
— перпендикуляр к этой плоскости.
Диагонали FC_{1}
и CF_{1}
прямоугольника CFF_{1}C_{1}
точкой пересечения O
делятся пополам, поэтому
FO=\frac{1}{2}FC_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{CF^{2}+CC_{1}^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{5}=\frac{a\sqrt{5}}{2},
причём O
— точка пересечения прямой FC_{1}
с плоскостью BCE_{1}F_{1}
.
Поскольку FH
— перпендикуляр к плоскости BCE_{1}F_{1}
, отрезок HO
— ортогональная проекция наклонной FO
на эту плоскость. Значит, угол между прямой FO
и плоскостью BCE_{1}F_{1}
— это угол FOH
.
Записав двумя способами площадь прямоугольного треугольника BFF_{1}
со сторонами FF_{1}=a
, BF=a\sqrt{3}
и BF_{1}=2a
, получим равенство \frac{1}{2}FH\cdot BF_{1}=\frac{1}{2}BF\cdot FF_{1}
, из которого находим, что
FH=\frac{BF\cdot FF_{1}}{BF_{1}}=\frac{a\sqrt{3}\cdot a}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
\sin\angle FOH=\frac{FH}{FO}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 6, с. 56