7660. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны, найдите косинус угла между прямыми BA_{1}
и DB_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Поскольку A_{1}B\parallel E_{1}D
, угол между скрещивающимися прямыми BA_{1}
и DB_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми E_{1}D
и DB_{1}
, т. е. углу B_{1}DE_{1}
.
Пусть сторона основания призмы равна a
. Из прямоугольного треугольника DBB_{1}
находим, что
DB_{1}=\sqrt{BB_{1}^{2}+BD^{2}}=\sqrt{a^{2}+(a\sqrt{3})^{2}}=2a,
а так как B_{1}E_{1}=2a
, то треугольник B_{1}DE_{1}
— равнобедренный с основанием DE_{1}=a\sqrt{2}
. Его медиана B_{1}K
является высотой, следовательно,
\cos\angle B_{1}DE_{1}=\cos\angle B_{1}DK=\frac{DK}{DB_{1}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{4}.