7663. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны, найдите угол между прямой CC_{1}
и плоскостью BDE_{1}
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Поскольку CC_{1}\parallel AA_{1}
, угол между прямой CC_{1}
и плоскостью BDE_{1}
равен углу между этой плоскостью и прямой AA_{1}
.
Пусть H
— точка пересечения диагоналей квадрата ABB_{1}A_{1}
. Тогда AH\perp BA_{1}
. По теореме о трёх перпендикулярах наклонная B_{1}A
к плоскости ABCDEF
перпендикулярна прямой BD
, лежащей в этой плоскости, так как её ортогональная проекция AB
перпендикулярна BD
. Поэтому AH\perp BD
. Таким образом, прямая AH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BA_{1}
и BD
плоскости BDE_{1}A_{1}
. Значит, AH
— перпендикуляр к плоскости BDE_{1}A_{1}
, A_{1}H
— ортогональная проекция наклонной AA_{1}
на эту плоскость, а угол между прямой AA_{1}
и плоскостью BDE_{1}A_{1}
— это угол AA_{1}H
. Поскольку AA_{1}B_{1}B
— квадрат, \angle AA_{1}H=45^{\circ}
.