7667. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите угол между прямыми DA_{1}
и BD_{1}
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Прямая AB
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD
и AA_{1}
плоскости AA_{1}D_{1}D
, значит, AB
— перпендикуляр к этой плоскости, а AD_{1}
— ортогональная проекция на эту плоскость наклонной BD_{1}
. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому AD_{1}\perp DA_{1}
. По теореме о трёх перпендикулярах DA_{1}\perp BD_{1}
, следовательно, искомый угол равен 90^{\circ}
.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 1.2, с. 5