7670. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите тангенс угла между прямыми AB
и DB_{1}
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Поскольку AB\parallel CD
, угол между скрещивающимися прямыми AB
и DB_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми CD
и DB_{1}
, т. е. углу CDB_{1}
.
Прямая CD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC
и CC_{1}
плоскости BB_{1}C_{1}C
, значит, прямая CD
перпендикулярна этой плоскости. Поэтому треугольник CDB_{1}
— прямоугольный.
Пусть ребро куба равно a
. Тогда CB_{1}=a\sqrt{2}
. Из прямоугольного треугольника CDB_{1}
находим, что
\tg\angle CDB_{1}=\frac{CB_{1}}{CD}=\frac{a\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}.