7671. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите тангенс угла между прямой AC_{1}
и плоскостью BDD_{1}
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей квадрата ABCD
, Q
— точка пересечения диагоналей куба. Тогда Q
— середина AC_{1}
и BD_{1}
, а O
— ортогональная проекция точки Q
на плоскость ABCD
.
Прямая AO
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD
и BB_{1}
плоскости BDD_{1}B_{1}
, значит, AO
— перпендикуляр к этой плоскости, а OQ
— ортогональная проекция наклонной AQ
к этой плоскости. Следовательно, угол между прямой AQ
(а значит, и AC_{1}
) и плоскостью BDD_{1}B_{1}
— это угол AQO
.
Пусть ребро куба равно a
. Тогда AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}
и OQ=\frac{1}{2}BB_{1}=\frac{a}{2}
. Из прямоугольного треугольника AQO
находим, что
\tg\angle AQO=\frac{AO}{OQ}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{2}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 1, с. 19