7687. В правильном тетраэдре ABCD
найдите косинус угла между прямыми BC
и AE
, где E
— середина ребра CD
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{6}
.
Решение. Пусть рёбра тетраэдра равны a
, M
— середина ребра BD
. Тогда ME
— средняя линия треугольника BDC
, поэтому ME=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}
и ME\parallel BC
. Угол между прямыми BC
и AE
равен углу между пересекающимися прямыми ME
и AE
, т. е. углу AEM
при основании равнобедренного треугольника со сторонами AM=AE=\frac{a\sqrt{3}}{2}
и ME=\frac{a}{2}
.
Пусть K
— середина отрезка ME
. Из прямоугольного треугольника AKE
находим, что
\cos\angle AEM=\cos\angle AEK=\frac{KE}{AE}=\frac{\frac{a}{4}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}.