7688. В правильном тетраэдре ABCD
найдите косинус угла между прямыми AM
и DK
, где M
и K
— середины рёбер BC
и AB
соответственно.
Ответ. \frac{1}{6}
.
Решение. Пусть N
— середина отрезка BM
. Тогда KN
— средняя линия треугольника ABM
, поэтому KN=\frac{1}{2}AM=\frac{a\sqrt{3}}{4}
и KN\parallel AM
. Угол между прямыми AM
и DK
равен углу между пересекающимися прямыми KN
и DK
, т. е. углу DKN
.
Из прямоугольного треугольника DMN
находим, что
DN^{2}=DM^{2}+MN^{2}=\frac{3}{4}a^{2}+\frac{1}{16}a^{2}=\frac{13}{16}a^{2}.
Следовательно,
\cos\angle DKN=\frac{DK^{2}+KN^{2}-DN^{2}}{2DK\cdot KN}=\frac{\frac{3}{4}a^{2}+\frac{3}{16}a^{2}-\frac{13}{16}a^{2}}{2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{4}}=\frac{1}{6}.