7689. В правильном тетраэдре ABCD
найдите синус угла между прямой DK
и плоскостью ADC
, где K
— середина ребра AB
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Поскольку точка K
— середина отрезка AB
, расстояние от точки K
до плоскости ADC
вдвое меньше расстояния до этой плоскости от точки B
.
Пусть BH
— высота правильного тетраэдра ABCD
с ребром a
. Расстояние от точки B
до плоскости ADC
равно высоте BH
тетраэдра, т. е. BH=a\sqrt{\frac{2}{3}}
, поэтому расстояние от точки K
до этой плоскости равно \frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Пусть K_{1}
— основание перпендикуляра, опущенного из точки K
на плоскость ADC
. Тогда DK_{1}
— ортогональная проекция наклонной KD
на плоскость ADC
, KDK_{1}
— угол между наклонной DK
и этой плоскостью, а так как KK_{1}=\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}
и DK=\frac{a\sqrt{3}}{2}
, то
\sin\angle KDK_{1}=\frac{KK_{1}}{DK}=\frac{\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2(б), с. 44