7694. В правильной треугольной пирамиде SABC
с основанием ABC
известны рёбра: AB=15\sqrt{3}
, SC=17
. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS
и BC
.
Ответ. \arctg\frac{4}{15}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер BC
и AS
соответственно, O
— центр основания ABC
, H
— ортогональная проекция точки N
на плоскость основания. Точка H
лежит на отрезке OA
— ортогональной проекции бокового ребра на плоскость основания, причём H
— середина OA
как средняя линия прямоугольного треугольника AOS
, а MH
— ортогональная проекция наклонной NM
на плоскость ABC
. Значит, угол прямой MN
с плоскостью основания пирамиды — это угол HMN
.
Высота равностороннего треугольника со стороной a
равна \frac{a\sqrt{3}}{2}
, поэтому
AH=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{15\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{15}{2}.
Тогда MH=OH+OM=2AH=15
.
Из прямоугольного треугольника ANH
находим, что
NH=\sqrt{AN^{2}-AH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{17}{2}\right)^{2}-\left(\frac{15}{2}\right)^{2}}=4.
Следовательно,
\tg\angle HMN=\frac{NH}{MH}=\frac{4}{15}.