7697. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
, все рёбра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями SAD
и SBD
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Пусть O
— центр основания пирамиды, M
— середина ребра SD
. Из прямоугольного треугольника DSO
находим, что
SO=\sqrt{SD^{2}-OD^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=OD.
Медиана OM
равнобедренного треугольника DSO
перпендикулярна стороне SD
и равна половине SD
. Медиана AM
равностороннего треугольника ASD
также перпендикулярна стороне SD
. Следовательно, линейный угол, образованный плоскостями SAD
и SBD
, — это угол AMO
.
Прямая AC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD
и SO
плоскости SBD
, значит, прямая AC
перпендикулярна этой плоскости. Поэтому AO\perp OM
, значит, треугольник AMO
— прямоугольный. Следовательно,
\tg\angle AMO=\frac{OA}{OM}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2011, задача C2