7700. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Решение. Первый способ. Определение. Говорят, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.
Пусть прямая h
перпендикулярна пересекающимся прямым a
и b
плоскости \alpha
. Докажем, что прямая h
перпендикулярна произвольной прямой c
этой плоскости, непараллельной прямым a
и b
.
Через точку A
пересечения прямой h
с плоскостью \alpha
проведём прямые AB
, AC
и AD
, соответственно параллельные прямым a
, b
и c
. Обозначим через P
точку пересечения прямых AD
и BC
. На прямой h
отложим по разные стороны от плоскости \alpha
равные отрезки AM
и AN
.
Прямоугольные треугольники MAC
и NAC
равны по двум катетам. Аналогично, равны прямоугольные треугольники MAB
и NAB
. Значит, треугольники BMC
и BNC
равны по трём сторонам. Следовательно, \angle MCB=\angle NCB
. Тогда треугольники MCD
и NCD
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому MD=ND
, а так как в равнобедренном треугольнике MDN
медиана DA
является высотой, то MA\perp AD
. Значит, h\perp AD
, а так как AD\parallel c
, то h\perp c
.
Таким образом, прямая h
перпендикулярна каждой прямой плоскости \alpha
. Следовательно, прямая h
перпендикулярна плоскости \alpha
.
Второй способ. Пусть прямая h
перпендикулярна пересекающимся прямым a
и b
плоскости \alpha
. Докажем, что прямая h
перпендикулярна произвольной прямой c
этой плоскости, непараллельной прямым a
и b
.
Выберем на прямых h
, a
, b
и c
ненулевые векторы \overrightarrow{h}
, \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
соответственно. Поскольку прямые a
и b
— пересекающиеся, векторы \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
не коллинеарны. Поэтому существует единственная пара чисел x
и y
, для которой \overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}
. Тогда для скалярного произведения векторов \overrightarrow{h}
и \overrightarrow{c}
верно равенство
\overrightarrow{h}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{h}\cdot(x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b})=\overrightarrow{h}\cdot(x\overrightarrow{a})+\overrightarrow{h}\cdot(y\overrightarrow{b})=
=x(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{h})+y(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{h})=x\cdot0+y\cdot0=0.
Следовательно, h\perp c
.
Таким образом, прямая h
перпендикулярна каждой прямой плоскости \alpha
. Следовательно, прямая h
перпендикулярна плоскости \alpha
.