7701. Докажите, что если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна некоторой плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости.
Решение. Пусть прямые a
и b
параллельны, причём прямая a
перпендикулярна плоскости \alpha
. Докажем, что прямая b
также перпендикулярна плоскости \alpha
.
Рассмотрим две пересекающиеся прямые c
и d
плоскости \alpha
. Поскольку прямая a
перпендикулярна плоскости \alpha
, она перпендикулярна прямым c
и d
, а так как прямая b
параллельна прямой a
, то она также перпендикулярна прямым c
и d
. Значит, прямая b
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости \alpha
. Следовательно, прямая b
перпендикулярна плоскости \alpha
.