7702. Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Решение. Пусть прямые a
и b
перпендикулярны плоскости \alpha
. Предположим, что они не параллельны. Через точку M
пересечения прямой b
с плоскостью \alpha
проведём прямую b_{1}
, параллельную прямой a
. Так как прямая b_{1}
параллельна прямой a
, а прямая a
перпендикулярна плоскости \alpha
, то прямая b_{1}
также перпендикулярна плоскости \alpha
.
Через пересекающиеся прямые b
и b_{1}
проведём плоскость \beta
. Пусть плоскости \alpha
и \beta
пересекаются по прямой l
. Поскольку прямые b
и b_{1}
перпендикулярны плоскости \alpha
, они перпендикулярны прямой l
, лежащей в этой плоскости. Таким образом, в плоскости \beta
через точку M
проходят две различные прямые b
и b_{1}
, перпендикулярные прямой l
. Что невозможно. Следовательно, b\parallel a
.