7703. Докажите, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной прямой.
Решение. Пусть данная точка M
не лежит на данной прямой h
. Проведём через них плоскость \alpha
(рис. 1). Пусть прямая плоскости \alpha
, проходящая через точку M
перпендикулярно прямой h
, пересекает прямую h
в точке A
. Через произвольную точку, не лежащую в плоскости \alpha
, и прямую h
проведём плоскость \beta
. В плоскости \beta
проведём прямую AN
, перпендикулярную прямой h
. Через пересекающиеся прямые AM
и AN
проведём плоскость \gamma
. Поскольку прямая h
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM
и AN
плоскости \gamma
, прямая h
перпендикулярна плоскости \gamma
.
Докажем единственность. Предположим, что существует плоскость \gamma_{1}
, проходящая через точку M
перпендикулярно прямой h
и отличная от плоскости \gamma
. Поскольку плоскости \gamma
и \gamma_{1}
имеют общую точку M
, они пересекаются по прямой l
, проходящей через эту точку.
Если прямая l
не пересекается с прямой h
(рис. 2), то плоскости \gamma
и \gamma_{1}
пересекают прямую h
в двух различных точках B
и C
. Тогда в плоскости пересекающихся прямых MB
и MC
из точки M
опущены два перпендикуляра MB
и MC
на прямую h
. Что невозможно.
Если прямая l
пересекает прямую h
в точке D
(рис. 3), то через прямую h
и произвольную точку K
, не лежащую на прямых l
и h
, проведём плоскость \varphi
. Эта плоскость пересекает плоскости \gamma
и \gamma_{1}
по различным прямым, пересекающимся в точке D
, а так как прямая h
перпендикулярна плоскостям \gamma
и \gamma_{1}
, то она перпендикулярна обеим этим прямым. Таким образом, в плоскости \varphi
через точку D
проходят две различные прямые, перпендикулярные прямой h
. Что также невозможно.
Пусть теперь точка M
лежит на прямой h
. В произвольной плоскости, проходящей через прямую h
, проведём перпендикуляр MM_{1}
к прямой h
. Затем через точку M_{1}
, не лежащую на прямой h
, указанным выше способом проведём плоскость, перпендикулярную прямой h
. Далее всё аналогично рассмотренному случаю.