7704. Докажите, что две различные плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
Решение. Пусть различные плоскости \alpha
и \beta
перпендикулярны прямой h
. Поскольку через точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, плоскости \alpha
и \beta
пересекают прямую h
в различных точках A
и B
.
Предположим, что эти плоскости имеют общую точку M
. Проведём плоскость \gamma
через прямую h
и точку M
. Поскольку прямая h
перпендикулярна плоскостям \alpha
и \beta
, проведённая плоскость пересекает плоскости \alpha
и \beta
по прямым MA
и MB
, перпендикулярным прямой h
. Таким образом, в плоскости \gamma
через точку M
проведены две различные прямые, перпендикулярные одной и той же прямой h
. Что невозможно. Следовательно, плоскости \alpha
и \beta
не имеют общих точек, т. е. параллельны.