7705. Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.
Решение. Пусть плоскости \alpha
и \beta
параллельны, а прямая h
перпендикулярна плоскости \alpha
и пересекает её в точке A
. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую. Обозначим через B
точку пересечения прямой h
с плоскостью \beta
.
Предположим, что прямая h
не перпендикулярна плоскости \beta
. Тогда через точку B
проведём плоскость \beta_{1}
, перпендикулярную прямой h
. Плоскости \beta_{1}
и \alpha
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой h
. Таким образом, через точку B
проходят две плоскости, параллельные одной и той же плоскости \alpha
. Что невозможно. Следовательно, прямая h
перпендикулярна плоскости \beta
.