7706. Докажите, что через данную точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости.
Решение. Пусть точка M
расположена вне плоскости \alpha
(рис. 1). Из точки M
опустим перпендикуляр MA
на некоторую прямую a
плоскости \alpha
. Если MA\perp\alpha
, то искомая прямая построена. В противном случае, в плоскости \alpha
через точку A
проведём прямую b
, перпендикулярную прямой a
. Через пересекающиеся прямые AM
и b
проведём плоскость \beta
и в ней опустим перпендикуляр MH
из точки M
на прямую b
. Докажем, что MH\perp\alpha
.
В самом деле, прямая a
перпендикулярна плоскости \beta
, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM
и AH
этой плоскости. Значит, MH\perp a
. Таким образом, прямая MH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AH
и a
плоскости \alpha
. Следовательно, MH\perp\alpha
.
Докажем единственность. Предположим, что через точку M
проходят две различные прямые, перпендикулярные плоскости \alpha
(рис. 2). Проведём через них плоскость \gamma
. Пусть плоскости \alpha
и \gamma
пересекаются по прямой l
. Тогда в плоскости \gamma
из точки M
на прямую l
опущено два различных перпендикуляра, что невозможно. Следовательно, через точку, не лежащую в плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную этой плоскости.
Пусть теперь точка M
лежит в плоскости \alpha
. Проведём через точку M
различные прямые b
и c
. Затем через точку M
проведём две плоскости, перпендикулярные прямым b
и c
соответственно. Тогда прямая a
пересечения этих плоскостей перпендикулярна пересекающимся прямым b
и c
плоскости \alpha
. Следовательно, эта прямая перпендикулярна плоскости \alpha
. Доказательство единственности аналогично соответствующему доказательству для случая, когда точка M
расположена вне плоскости \alpha
.