7707. Теорема о трёх перпендикулярах. Докажите, что прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна к наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к ортогональной проекции этой на наклонной на данную плоскость.
Решение. Необходимость. Пусть прямая a
, лежащая в плоскости \alpha
, перпендикулярна наклонной l
к этой плоскости, b
— ортогональная проекция наклонной l
на плоскость \alpha
, h
— перпендикуляр, опущенный из произвольной точки наклонной l
на плоскость \alpha
. Тогда прямая a
перпендикулярна двум пересекающимся прямым l
и h
плоскости \beta
, проходящей через пересекающиеся прямые b
и l
. Значит, прямая a
перпендикулярна любой прямой плоскости \beta
. Следовательно, a\perp b
.
Достаточность. Пусть b
— ортогональная проекция наклонной l
на плоскость \alpha
, прямая a
, лежащая в плоскости \alpha
, перпендикулярна прямой b
, h
— перпендикуляр, опущенный из произвольной точки наклонной l
на плоскость \alpha
. Тогда прямая a
перпендикулярна двум пересекающимся прямым b
и h
плоскости \beta
, проходящей через пересекающиеся прямые b
и l
. Значит, прямая a
перпендикулярна любой прямой плоскости \beta
. Следовательно, a\perp l
.