7708. Докажите, что через одну из двух перпендикулярных скрещивающихся прямых можно провести единственную плоскость, перпендикулярную другой прямой.
Решение. Пусть a
и b
— скрещивающиеся прямые, a\perp b
. Из произвольной точки B
прямой b
опустим перпендикуляр BA
на прямую a
. Тогда плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые b
и BA
перпендикулярна прямой a
, так как прямая a
перпендикулярна двум пересекающимся прямым b
и BA
этой плоскости.
Предположим, что через прямую b
проходят две различные плоскости, перпендикулярные прямой a
. Возьмём на прямой b
пересечения этих плоскостей точку M
. Тогда через точку M
проходят две различные плоскости, перпендикулярные прямой a
, что невозможно.