7710. Признак перпендикулярности плоскостей. Докажите, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой.
(Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90^{\circ}
.)
Решение. Необходимость. Пусть плоскости \alpha
и \beta
перпендикулярны. Это значит, что двугранный угол, образованный ими, — прямой. Через точку M
, расположенную на прямой c
пересечения плоскостей \alpha
и \beta
, проведём в плоскостях \alpha
и \beta
прямые соответственно MA
и MB
, перпендикулярные прямой c
. Тогда AMB
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями \alpha
и \beta
. По условию \angle AMB=90^{\circ}
, поэтому прямая AM
, лежащая в плоскости \alpha
, перпендикулярна двум пересекающимся прямым c
и MB
плоскости \beta
. Следовательно, плоскость \alpha
проходит через прямую MA
, перпендикулярную плоскости \beta
.
Достаточность. Пусть прямая a
, лежащая в плоскости \alpha
, перпендикулярна плоскости \beta
, а плоскости \alpha
и \beta
пересекаются по прямой c
. Через точку M
пересечения прямых a
и c
проведём в плоскости \beta
прямую MB
, перпендикулярную прямой c
. Возьмём на прямой a
точку A
, отличную от M
. Так как прямая AM
перпендикулярна плоскости \beta
, то AM\perp c
и AM\perp BM
. Значит, AMB
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями \alpha
и \beta
. Поскольку \angle AMB=90^{\circ}
, плоскости \alpha
и \beta
перпендикулярны.