7711. На перпендикуляре к плоскости прямоугольника ABCD
, проходящем через точку A
, взята точка P
, отличная от A
. Докажите, что
а) плоскость APB
перпендикулярна плоскости APD
;
б) плоскость APB
перпендикулярна плоскости BPC
;
в) плоскость APD
перпендикулярна плоскости DPC
.
Решение. Поскольку PA
— перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD
, BA\perp PA
и DA\perp PA
. Поэтому BAD
— линейный угол двугранного угла между плоскостями APB
и APD
, а так как ABCD
— прямоугольник, то \angle BAD=90^{\circ}
, т. е. плоскости APB
и APD
перпендикулярны.
Прямая CB
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB
и AP
плоскости APB
, значит, прямая BC
перпендикулярна плоскости APB
. Таким образом, плоскость BPC
проходит через прямую BC
, перпендикулярную плоскости APB
. Следовательно, плоскости APB
и BPC
перпендикулярны. Аналогично, плоскости APD
и DPC
также перпендикулярны.