7712. Докажите, что прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, перпендикулярна второй плоскости.
Решение. Пусть плоскости \alpha
и \beta
перпендикулярны, а прямая a
, лежащая в плоскости \alpha
, перпендикулярна прямой c
пересечения плоскостей \alpha
и \beta
.
Через точку M
пересечения прямых a
и c
проведём в плоскости \beta
прямую MB
, перпендикулярную c
. Пусть A
— точка на прямой a
, отличная от M
. Тогда AMB
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями \alpha
и \beta
. По условию \angle AMB=90^{\circ}
, поэтому прямая a
перпендикулярна двум пересекающимся прямым c
и BM
плоскости \beta
. Следовательно, a\perp\beta
.