7714. Существует ли четырёхугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны плоскости основания?
Ответ. Да.
Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD
, у которой боковое ребро AD
перпендикулярно плоскости основания ABC
. Пусть M
и N
— точки на сторонах AB
и AC
треугольника ABC
, отличные от вершин этого треугольника. Тогда четырёхугольная пирамида с вершиной D
и основанием BMNC
удовлетворяет нужному условию. В самом деле, плоскости её противоположных боковых граней BMD
и CND
проходят через прямую AD
, перпендикулярную плоскости основания MBCN
. Следовательно, они перпендикулярны плоскости основания.