7716. Высота треугольной пирамиды проходит через точку пересечения высот треугольника основания. Докажите, что противоположные рёбра пирамиды попарно перпендикулярны.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот основания ABC
треугольной пирамиды ABCD
, DH
— высота пирамиды. Тогда прямая AH
— ортогональная проекция наклонной DA
на плоскость основания. Поскольку H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, прямая AH
перпендикулярна BC
. Значит, по теореме о трёх перпендикулярах DA\perp BC
. Аналогично докажем, что DB\perp AC
и DC\perp AB
.