7719. Макет прямоугольника ABCD
со сторонами a
и b
перегнули по диагонали BD
так, что плоскости треугольников BAD
и BCD
стали взаимно перпендикулярны. Найдите AC
.
Ответ. \sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}}}
.
Решение. Пусть AB=CD=a
, AD=BC=b
, b\gt a
. Если AK
и CM
— высоты прямоугольных треугольников BAD
и BCD
, то
CM=AK=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},~DM=BK=\frac{AB^{2}}{BD}=\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},
KM=BD-BK-DM=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-\frac{2a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{b^{2}-a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Из прямоугольного треугольника AKM
находим, что
AM^{2}=AK^{2}+KM^{2}=\frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{(b^{2}-a^{2})^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{4}+b^{4}-a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
Поскольку плоскости треугольников BAD
и BCD
перпендикулярны, прямая CM
перпендикулярна плоскости BAD
, поэтому CM\perp AM
. Из прямоугольного треугольника AMC
находим, что
AC^{2}=AM^{2}+CM^{2}=\frac{a^{4}+b^{4}-a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}}.
Следовательно,
AC=\sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}}}.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.25, с. 29