7720. Вычислите объём правильного тетраэдра, если радиус окружности, описанной около его грани, равен R
.
Ответ. \frac{R^{3}\sqrt{6}}{4}
.
Решение. Пусть ребро правильного тетраэдра ABCD
равно a
. Поскольку радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной a
, равен \frac{a\sqrt{3}}{3}
, имеем уравнение \frac{a\sqrt{3}}{3}=R
, откуда a=R\sqrt{3}
.
Пусть DM
— высота правильного тетраэдра ABCD
. Из прямоугольного треугольника AMD
по теореме Пифагора находим, что
DM=\sqrt{AD^{2}-AM^{2}}=\sqrt{a^{2}-R^{2}}=\sqrt{3R^{2}-R^{2}}=R\sqrt{2}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot R\sqrt{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3R^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot R\sqrt{2}=\frac{R^{3}\sqrt{6}}{4}.