7721. Найдите объём наклонной треугольной призмы, у которой площадь одной из боковых граней равна S
, а расстояние от плоскости этой грани до противолежащего ребра равно d
.
Ответ. \frac{1}{2}Sd
.
Решение. Пусть площадь боковой грани ABB_{1}A_{1}
наклонной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
(AA_{1}\parallel BB_{1}\parallel CC_{1})
равна S
, а расстояние от плоскости этой грани до ребра CC_{1}
равно d
. Достроим треугольник ABC
до параллелограмма ACDB
а данную треугольную призму — до параллелепипеда ACDBA_{1}C_{1}D_{1}B_{1}
. Тогда объём призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
вдвое меньше объёма параллелепипеда ACDBA_{1}C_{1}D_{1}B_{1}
, так как плоскость BCC_{1}B_{1}
разбивает параллелепипед ACDBA_{1}C_{1}D_{1}B_{1}
на две равные призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
и DBCD_{1}B_{1}C_{1}
.
Если параллелограмм ABB_{1}A_{1}
— основание параллелепипеда, то его высота равна расстоянию между плоскостями ABB_{1}A_{1}
и CC_{1}D_{1}D
, т. е. d
. Следовательно,
V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}V_{ACDBA_{1}C_{1}D_{1}B_{1}}=\frac{1}{2}S_{ABB_{1}A_{1}}\cdot d=\frac{1}{2}Sd.