7722. В прямом параллелепипеде стороны основания равны a
и b
, острый угол между ними равен 60^{\circ}
. Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ. \frac{1}{2}ab\sqrt{6ab}
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямой параллелепипед с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
, перпендикулярными плоскости основания ABCD
, причём AB=a
, AD=b
, \angle BAD=60^{\circ}
. Тогда AC
— большая диагональ параллелограмма ABCD
, а BD_{1}
— меньшая диагональ параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, так как ортогональная проекция BD
наклонной BD_{1}
меньше ортогональной проекции AC
наклонной CA_{1}
на плоскость основания ABCD
.
По условию задачи BD_{1}=AC
. По теореме косинусов из треугольников ABC
и ABD
находим, что
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos\angle ABC=a^{2}+b^{2}-2ab\cos120^{\circ}=
=a^{2}+b^{2}+ab,
BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2AB\cdot AD\cos\angle BAD=a^{2}+b^{2}-2ab\cos60^{\circ}=
=a^{2}+b^{2}-ab.
Из прямоугольного треугольника BB_{1}D
находим высоту BB_{1}
параллелепипеда:
BB_{1}=\sqrt{BD^{2}-BD^{2}}=\sqrt{BD^{2}-BD^{2}}=
=\sqrt{a^{2}+b^{2}+ab-(a^{2}+b^{2}-ab)}=\sqrt{2ab}.
Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot BB_{1}=ab\sin60^{\circ}\cdot\sqrt{2ab}=\frac{1}{2}ab\sqrt{6ab}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.008